Numere prietenoase si numere sociabile

Una din descoperirile lui Fermat privea asa-numitele numere prietenoase sau numere amicale, inrudite de aproape cu numerele perfecte care-l fascinau pe Pitagora. Numerele prietenoase sunt perechi de numere cuplate astfel incat fiecare numar reprezinta suma divizorilor celuilalt numar. Un exemplu este cuplul de numere 220 (cu divizorii 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110) si 284 (cu divizorii 1, 2, 4, 71, 142).

Se spune ca perechea de numere 220 si 284 este simbolul prieteniei. Cartea lui Martin Gardner Spectacol de magie matematica vorbeste despre talismane vandute in Evul Mediu, pe care erau inscrise aceste numere cu motivatia ca purtarea lor ar favoriza dragostea. Un numerolog arab inregistreaza practica insemnarii unui fruct cu numarul 220 si a altuia cu 284, urmata de mancarea primului si oferirea celui de-al doilea persoanei iubite in chip de afrodisiac matematic. Primii teologi au remarcat ca in Cartea Facerii, Iacob i-a oferit 220 de capre lui Esau. Ei credeau ca numarul caprelor, jumatatea unui cuplu prietenos, era expresia dragostei lui Iacob pentru Esau.

Fermat a mai gasit cuplul 17 296 si 18 416, Nicolo Paganini (de 16 ani) a gasit 1 184 si 1 210, iar Descartes 9 363 584 si 9 437 056.
In secolul al XX-lea, matematicienii au dus aceasta idee mai departe si au inceput sa caute asa numitele numere sociabile, trei sau mai multe numere care sa formeze o bucla inchisa. Spre exemplu, tripletul: 1 945 330 728 960, 2 324 196 638 720 si 2 615 631 953 920.

Totul e numar

Cine stie cine a zis "totul e numar"? Ar fi bine fara search pe Google.

Matematica si literele

Ne-a zis profu' de mate ieri un lucru tare interesant. Ca la matematica ducem lipsa acuta de litere.

Yutaka Taniyama si Goro Shimura

In ianuarie 1954, un talentat matematician de la Universitatea din Tokyo face o vizita de rutina in biblioteca departamentului sau. Goro Shimura cauta un exemplar din Mathematische Annalen, vol. 24. In particular urmarea un articol al lui Deuring adupra teoriei sale algebrice a inmultirii complexe, de care avea nevoie pentru a duce la bun sfarsit un calcul deosebit de complicat si abstract.
Spre surprinderea si dezamagirea sa, volumul era deja luat. Cel care-l imprumutase era Yutaka Taniyama, o vaga cunostinta a lui Shimura, care traia in cealalta parte a campusului. Shimura ii scrisese lui Taniyama explicandu-i ca avea urgenta nevoie de revista pentru a incheia calculul acela nesuferit, si intreba politicos cand avea sa fie ea returnata.
Cateva zile mai tarziu, o carte postala ajunse pe biroul lui Shimura. Taniyama raspunsese spunand ca si el lucra la exact acelasi calcul si se impotmolise in acelasi punct al rezolvarii lui. Asa a inceput o prietenie de durata. Isi petreceau dupa-amiezile in cafenele, luau cina intr-un mic restaurant, iar la sfarsit de saptamana se plimbau prin gradina botanica sau prin parcul orasului, toate aceastea fiind ocazii ideale pentru a discuta ultimele lor idei matematice.

Cei doi matematicieni aveau personalitati diferite. Shimura era cu mult mai conventional si conservator decat Taniyama. Acesta obisnuia sa se scoale in zori si sa se apuce imediat de lucru, la o ora cand colegul lui era deseori inca treaz, deoarece lucrase toata noaptea. Cei care-i vizitau apartamentul il gaseau deseori pe Taniyama aproape adormit in timpul dupa-amiezii. In timp ce Shimura era harnic, Taniyama era delasator. Era prototipul geniului distrat, iar aceasta se reflecta in aspectul sau exterior. Era incapabil sa-si lege corect sireturile de la pantofi, asa incat decat sa-i lege de 10 ori pe zi, mai bine nu-i lega deloc.

Din cauza izolarii Japoniei, seminariile universitatilor acopereau uneori subiecte care in Europa si America erau considerate ca apartinand trecutului. O tema deosebit de demodata care-i fascina atat pe Taniyama, cat si pe Shimura era studiul formelor modulare.

Formele modulare sunt unele din cele mai stranii si mai minunate obiecte din matematica. Una din cele mai abstracte entitati matematice, Eichler considera ca face parte din cele 5 operatii fundamentale pe langa adunare, scadere, inmultire si impartire. Trasatura-cheie a formelor modulare este nivelul lor neobisnuit de simetrie (rotationala, de reflexie, de translatie). O forma modulara este definita de 2 axe, dar axele sunt ambele complexe, adica fiecare axa are o parte imaginara si una reala, reprezentand de fapt 2 axe. De aceea, spatiul are 4 dimensiuni si se numeste spatiu hiperbolic.
Formele modulare sunt diferentiate de masura in care fiecare forma si marime apare in ea, rezultand o serie modulara sau M-serie, o lista a ingredientelor si a cantitatilor in care apar fiecare.

Taniyama a examinat cateva forme modulare si in fiecare caz M-seria unei forme modulare parea sa corespunda perfect cu E-seria unei ecuatii eliptice. El si-a expus parerile la un simpozion, dar pentru sceptici, aceasta era doar o coincidenta. Singurul aliat al lui Taniyama a fost Shimura, colaborare ce s-a intrerupt temporar in 1957, cand Shimura a fost invitat sa lucreze de la Institutul de Studii Avansate de la Princeton. Dupa cei doi ani petrecuti ca profesor invitat in America, intentiona sa-si reia lucrul impreuna cu Taniyama, dar aceasta nu avea sa se mai intample niciodata. La 17 noiembire 1958, Yutaka Taniyama s-a sinucis. A lasat o notita de 3 pagini pe masa, care incepea asa:

Pana ieri nu aveam intentia limpede de a-mi pune capat zilelor. Dar trebuie sa fi fost destule persoane care au observat ca in ultima vreme eram obosit atat fizic, cat si mental. Cat despre cauza sinuciderii mele, eu insumi n-o inteleg prea bine, dar ea nu este rezultatul vreunui motiv particular. Tot ce pot sa spun e ca ma aflu intr-o astfel de stare sufleteasca incat mi-am pierut increderea in mine insumi.

La cateva saptamani dupa sinuciderea lui, logodnica sa, Misako Suzuki, isi ia si ea viata. Se spune ca a lasat o notita in care scrie:

Ne-am promis unul altuia ca indiferent unde am merge, nu ne vom desparti niciodata. Acum cand el a plecat, trebuie sa plec si eu ca sa fiu langa el.

Conjectura Taniyama-Shimura, asa cum a fost numita legatura intre M-serie si E-serie, a fost demonstrata abia in 1994 de catre Andrew Wiles si a fost piesa care a lipsit in demonstratia marii teoreme a lui Fermat.

Gödel si paradoxul cretan

Kurt Gödel s-a nascut pe 28 aprilie 1906 in Moravia (Republica Ceha). Deoarece a avut boli grave inca de mic, cea mai severa fiind o criza de febra reumatica la 6 ani, Gödel a suferit de o ipohondrie* obsesiva care l-a urmarit toata viata. Spre sfarsitul ei, a fost convins, pe nedrept, ca fusese otravit si a refuzat sa manance, infometandu-se pana la moarte. In copilarie, a fost poreclit der Herr Warum (Domnul De Ce) si a manifestat un talent deosebit pentru matematica si stiinta.

Profesorul Furtwängler de la Univeristatea din Viena l-a convins pe Gödel sa studieze teoria numerelor, astfel ca la 20 de ani acesta se hotaraste pentru sectia de matematica. In 1931, publica Uber formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme ( Despre propozitiile formal indecidabile din Principia Mathematica si din sistemele inrudite ). Astfel, Gödel demonstreaza ca este imposibil sa incerci sa creezi un sistem matematic complet si consistent. In esenta, afirmatiile lui spuneau ca indiferent de setul de axiome care s-ar folosi, exista intrebari la care matematica nu poate raspunde - nu se poate atinge perfectiunea.

Aceasta teorema a lui Gödel poate fi ilustrata cu o analogie logica datorata lui Epimenide si cunoscuta sub numele de paradoxul cretan sau paradoxul mincinosului. Epimenide a fost un cretan care a exclamat:

Sunt un mincinos!

Paradoxul survine cand incercam sa aflam daca aceasta afirmatie este adevarata sau falsa.

O afirmatie adevarata implica faptul ca Epimenide este un mincinos , dar am presupus initial ca facuse o afirmatie adevarata., si deci Epimenide nu este un minicinos - avem o contradictie.
Pe de alta parte, daca afirmatia este falsa, Epimenide nu este un mincinos, dar initial am presupus ca el facuse o afirmatie falsa si, deci, Epimenide este un mincinos - o alta contradictie.
Indiferent daca presupunem ca aceasta afirmatie este adevarata sau falsa, sfarsim pintr-o contradictie, deci afirmatie nu e nici adevarata, nici falsa.
Kurt Gödel a reinterpretat paradoxul mincinosului si a introdus conceptul de demonstratie. Rezultatul a fost o afirmatie de tipul:

Aceasta afirmatie nu are nicio demonstratie.

Deoarece Gödel a putui traduce afirmatia de mai sus in limbaj matematic, el a reusit sa demonstreze ca in matematica exista afirmatii care sunt adevarate, dar care nu vor putea fi niciodata demonstrate ca fiind adevarate, asa-numitele afirmatii indecidabile.



IPOHONDRÍE, ipohondrii, s.f. Stare psihică morbidă, caracterizată prin nelinişte continuă, teamă şi preocupare obsesivă de starea sănătăţii proprii; idee fixă a cuiva care crede că suferă de o boală pe care în realitate nu o are. [Var.: ipocondríe s.f.] – Din fr. hypocondrie.